배낭 문제 종류 및 해결 방법

다양한 배낭 문제 유형과 그에 따른 최적화 전략을 정리합니다.

01 배낭 문제

n개의 물품(각각의 부피와 가치는 v[i], w[i])과 용량이 V인 배낭이 있을 때 최대 가치를 계산합니다.

for(int i=1; i<=n; ++i)
    for(int j=V; j>=v[i]; --j)
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);

완전 배낭 문제

모든 물품이 무한히 제공되는 경우의 최적화 알고리즘입니다.

for(int i=1; i<=n; ++i)
    for(int j=0; j<=V; ++j)
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);

다중 배낭 문제

각 물품이 제한된 개수로 제공되는 상황에서의 최적화 기법입니다.

for(int i=1; i<=n; ++i)
    for(int j=V; j>=0; --j)
        for(int k=1; k<=count[i] && k*v[i]<=j; ++k)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*v[i]] + k*w[i]);

복합 배낭 문제

제한된 수량과 무한 공급이 혼합된 경우 처리 방법입니다.

for(int i=1; i<=n; ++i)
    if(count[i] == 0)
        for(int j=V; j>=v[i]; --j)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
    else
        ...

2차원 비용 배낭 문제

부피와 무게 두 가지 제약 조건이 있는 문제의 해결 방안입니다.

for(int i=1; i<=n; ++i)
    for(int j=V; j>=v[i]; --j)
        for(int k=M; k>=m[i]; --k)
            dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j-v[i]][k-m[i]] + w[i]);

그룹 배낭 문제

물품이 여러 그룹으로 구성된 경우의 최적화 전략입니다.

for(int i=1; i<=n; ++i)
    for(int j=V; j>=0; --j)
        for(int k=1; k<=groupCount[i]; ++k)
            if(j >= volume[k])
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-volume[k]] + value[k]);

종속 관계 배낭 문제

노드 간 종속성 존재 시의 트리형 DP 접근법입니다.

void dfs(int node) {
    for(auto child : children[node]) {
        dfs(child);
        for(int j=V; j>=volume[node]; --j)
            for(int k=0; k<=j-volume[node]; ++k)
                dp[node][j] = max(dp[node][j], dp[node][j-k] + dp[child][k]);
    }
}

해당하는 경우의 수 계산

최대 가치 달성 가능한 경우의 수를 구하는 방법입니다.

for(int i=1; i<=n; ++i)
    for(int j=V; j>=v[i]; --j)
        if(dp[j-v[i]] + w[i] > dp[j]) {
            dp[j] = dp[j-v[i]] + w[i];
            num[j] = num[j-v[i]];
        } else if(dp[j-v[i]] + w[i] == dp[j]) {
            num[j] += num[j-v[i]];
        }

구체적인 선택 경로 추출

최대 가치 달성 시 선택된 물품의 조합을 출력하는 방법입니다.

int val = V;
for(int i=n; i>=1; --i)
    if(val >= v[i] && dp[val - v[i]] + w[i] == dp[val]) {
        cout << i << " ";
        val -= v[i];
    }