고 j 궤도는 높은 궤도 각운동량(l)을 가지며, j는 각운동량(l)과 스핀(s)의 결합입니다:

스핀을 고려하지 않고 수소 원자 파동 함수의 확률 분포를 정성적으로 분석합니다.

1. 수소 원자 파동 함수

수소 원자 파동 함수는 다음과 같습니다:

확률 밀도는 다음과 같이 표현됩니다:

이 밀도 분포는 축대칭성을 가집니다.

Sympy를 이용한 방사형 밀도 시각화 (l=4):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad
from sympy.physics.hydrogen import R_nl

ang_momentum = 4

def radial_prob(r, n_val, l_val):
    return (r * R_nl(n_val, l_val, r))**2

# 정규화 검증 (n=5)
integral, _ = quad(radial_prob, 0, 100, args=(5, ang_momentum))
print(f"적분값: {integral}")

r_points = np.linspace(0, 50, 500)
quantum_nums = [5, 6, 7]
density_curves = []

for n_quantum in quantum_nums:
    y = [radial_prob(r, n_quantum, ang_momentum) for r in r_points]
    density_curves.append(y)

plt.figure(figsize=(10, 6))
for idx, n_quantum in enumerate(quantum_nums):
    plt.plot(r_points, density_curves[idx], 
             label=fr"$n={n_quantum},\ l={ang_momentum}$")
    
plt.xlabel(r"$r$ (Å)")
plt.ylabel(r"$r^2 |R_{nl}(r)|^2$")
plt.legend()
plt.show()

각도 방향 밀도 시각화 (l=4, m=4):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import sph_harm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

theta = np.linspace(0, np.pi, 100)
phi = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
theta_grid, phi_grid = np.meshgrid(theta, phi)

l_val = 4
m_val = 4

y_component = sph_harm(m_val, l_val, phi_grid, theta_grid)
ang_density = np.abs(y_component)**2

x_coord = ang_density * np.sin(theta_grid) * np.cos(phi_grid)
y_coord = ang_density * np.sin(theta_grid) * np.sin(phi_grid)
z_coord = ang_density * np.cos(theta_grid)

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x_coord, y_coord, z_coord, 
                cmap='plasma', 
                edgecolor='none',
                alpha=0.7)

max_extent = np.max([x_coord.ptp(), y_coord.ptp(), z_coord.ptp()]) / 2
midpoint = [coord.mean() for coord in [x_coord, y_coord, z_coord]]
ax.set_xlim(midpoint[0] - max_extent, midpoint[0] + max_extent)
ax.set_ylim(midpoint[1] - max_extent, midpoint[1] + max_extent)
ax.set_zlim(midpoint[2] - max_extent, midpoint[2] + max_extent)

plt.title(r"$|Y_{44}(\theta,\phi)|^2$ 밀도 분포")
plt.show()

밀도 분포 특성:

• \(|Y_{40}|^2\): 막대 모양
• \(|Y_{44}|^2\): 도넛 모양
• \(\psi_{540}\): z축 방향 아령 구조, 1개 극대점
• \(\psi_{54m} (m>0)\): 고리 구조, 위도별 밀도 변화

2. 원자핵 고-j 궤도 특성

원자핵에서는 Woods-Saxon 퍼텐셜이 적용되지만, l은 유효한 양자수입니다. 각도 분포는 수소 원자와 유사하며, 방사형 분포도 \(n_r\)개의 극대점을 가집니다. 궤도-스핀 결합이 추가되어:

• \((nljm)\) 상태는 \((nlm_l)\) 상태의 중첩
• 최소 m값 제외 대부분 고리 구조
• 홀 상태: 밀도 껍질의 부분 결손 (아령형 생성)