포토닉 크리스탈의 토폴로지 전하와 연속체 속 결속 상태(BIC) 합병 현상을 Comsol로 시뮬레이션하는 방법을 살펴본다. 3차원 구조의 품질계수(Q) 산출과 원격장 편광 해석도 함께 다룬다.

토폴로지 전하는 광장의 위상 분포가 갖는 위상적 성질을 기술한다. Comsol에서 이를 분석하려면 특정 격자 구조를 설계해야 한다. 다음은 육각 격자 기반 2차원 포토닉 크리스탈의 기본 매개변수 설정 예시다.

% 육각 격자 상수 정의 (단위: μm)
hex_a = 0.42;

% 유전체 기둥 반경
pillar_r = 0.12;

% 기둥 재료의 굴절률 제곱
n_squared = 12.25;

위 코드에서 hex_a는 인접 기둥 중심 간 거리이며, pillar_r은 산란체의 크기를 결정한다. n_squared 값은 실리콘 계열 재료에 해당한다. 이들 값의 미세 조정으로 다양한 토폴로지 전하 상태에서의 공명 모드를 관찰할 수 있다.

비고대칭점에서의 BIC 합병

연속체 속 결속 상태(BIC)는 방사 손실이 원천 차단되는 특이한 광학 상태다. Γ점이나 M점 같은 고대칭점이 아닌 일반적인 파수 공간 위치에서 여러 BIC가 만나는 합병 현상은 더욱 흥미로운 물리를 담는다.

Comsol 모델링에서는 블로퀴 경계 조건과 고유주파수 해석기를 조합해 사용한다.

% 블로퀴 주기 경계 설정
model.physics('ewfd').feature('pbc1').set('kFloquet', {'kx'; 'ky'; 0});
model.physics('ewfd').feature('pbc1').selection.set([1 3]);

% 고유주파수 스터디 구성
model.study('eigenstudy').feature('eg1').set('shiftactive', true);
model.study('eigenstudy').feature('eg1').set('shift', 3.5e14); % 350 THz 근처 탐색

kFloquet 벡터를 연속적으로 변화시키면서 고유값 스윕을 수행하면, 특정 파수 궤적에서 복소 주파수의 허수부가 동시에 소멸하는 지점을 발견할 수 있다. 이 지점이 바로 비고대칭점에서의 BIC 합병이다. 구조 파라미터를 미세 조정하면 두 개 이상의 BIC가 동일한 파수-주파수 좌표에서 합쳐지는 고차 특이점도 구현 가능하다.

3차원 구조 품질계수 산출

실제 응용을 위해서는 3차원 포토닉 크리스탈의 Q 값을 정확히 추정해야 한다. 손실이 극도로 작은 경우, 직접적인 고유값 해석보다는 란 매트릭스 방식이 유리하다.

% 슬래브형 포토닉 크리스탈 생성
model.geom('geom1').create('wp1', 'WorkPlane');
model.geom('geom1').feature('wp1').geom.create('arr1', 'Array');
model.geom('geom1').feature('wp1').geom.feature('arr1').set('type', 'rectangular');
model.geom('geom1').feature('wp1').geom.feature('arr1').set('size', [5 5]);

% 공기 중 원형 공동 배열
model.geom('geom1').feature('wp1').geom.create('c1', 'Circle');
model.geom('geom1').feature('wp1').geom.feature('c1').set('r', 'r_hole');

% 두께 방향으로 돌출
model.geom('geom1').create('ext1', 'Extrude');
model.geom('geom1').feature('ext1').set('distance', 'thickness');

% Q 값 후처리: 공명 폭에서 역산
f_res = 1.934e14; % 공명 주파수
df_fwhm = model.result().eval('abs(freq_1-freq_2)');
Q_val = f_res / df_fwhm;

위 예시에서 thickness는 슬래브 두께를, r_hole은 공기 구멍 반경을 의미한다. 공명 폭(FWHM)을 이용한 간접 산출 외에도, PML(완전흡수층) 경계에서의 복소 파수 해석을 통해 복소 주파수의 허수부로부터 Q를 직접 계산할 수도 있다. 높은 Q 값은 강-결합 체계와 저손실 도파로 설계에 필수적이다.

원격장 편광 해석

포토닉 크리스탈의 원격장 분포는 근접장 정보를 통해 재구성한다. 스트라톤-추 표적정리를 수치적으로 적용하는 방식이다.

% 근접장 모니터면 설정
model.physics('ewfd').feature('sctr1').selection.set([10]);

% 원격장 계산 파라미터
model.result().create('ff1', 'FarField');
model.result('ff1').set('solnum', 5);
model.result('ff1').set('radius', 1e6); % 원거리 한정 (1m)

% 각도별 스톡스 파라미터 추출
theta_scan = linspace(0, 90, 181);
S1 = zeros(size(theta_scan)); % S1: I_total
S2 = zeros(size(theta_scan)); % S2: I_horizontal - I_vertical

for idx = 1:length(theta_scan)
    model.result('ff1').set('theta', theta_scan(idx));
    E_theta = model.result('ff1').eval('real(ewfd.Etheta)');
    E_phi = model.result('ff1').eval('real(ewfd.Ephi)');
    
    S1(idx) = abs(E_theta)^2 + abs(E_phi)^2;
    S2(idx) = abs(E_theta)^2 - abs(E_phi)^2;
end

% 편광도 계산
DoLP = abs(S2) ./ S1;

Etheta와 Ephi는 구면 좌표계에서의 전기장 성분이다. 이들의 진폭 비율과 위상차로부터 선형 편광도(DoLP), 원형 편광도(DoCP), 그리고 편광 각도를 완전히 결정할 수 있다. 특정 방향에서 DoLP가 0에 가까우면 원형 편광을, 1에 가까우면 선형 편광을 나타낸다.

토폴로지 전하의 영향은 원격장의 편광 특이점(벡터장의 영점) 분포에서도 드러난다. 이들 특이점의 위상 지수는 구조의 토폴로지 불변량과 직결되며, 이를 통해 실험적으로 접근하기 어려운 은닉 대칭성을 간적으로 검증할 수 있다.